Il legame tra forma e sforzi nei gusci

Prima della diffusione dei personal computer l’analisi e la progettazione delle strutture a guscio dalla forma complessa sono state affrontate mediante sperimentazione su modelli in scala. I gusci dalla geometria unica e complessa, come ad esempio il padiglione Sicli progettato da Heinz Isler, richiedevano la costruzione di elaborati modelli in scala su cui lo strutturista eseguiva accurate e scrupolose sperimentazioni per verificarne il corretto dimensionamento (Figura 1).

In casi eccezionali, la particolare geometria della struttura consentiva di risolvere analiticamente le equazioni differenziali che descrivono il comportamento dei gusci che lavorano in regime prevalentemente membranale. Ad esempio, i sottilissimi ed eleganti gusci in cemento armato basati sulla geometria del paraboloide iperbolico che caratterizzano le opere di Felix Candela venivano analizzati mediante la risoluzione analitica dell’equazione di Pucher per membrane di forma arbitraria. 

Oggi le difficoltà legate alla complessità della formulazione analitica combinata con quella della geometria strutturale non sono più ostacoli significativi per gli strutturisti. L’analisi delle strutture, anche complesse, è alla portata persino di piccoli studi di progettazione grazie alla disponibilità di teorie strutturali esatte e metodi numerici efficienti, come ad esempio il metodo degli elementi finiti, oltre che alla larga diffusione ed economicità del personal computer. Benché le soluzioni analitiche sono quasi del tutto inutilizzate in ambito professionale e progettuale, esse conservano un inestimabile valore culturale e didattico.

Grazie allo studio ed alla comprensione delle teorie strutturali è possibile trarre importanti informazioni di carattere generale sul comportamento delle strutture. Un interessante esempio di ciò è rappresentato dall’utilizzo dell’equazione di Pucher che, benché approssimata, consente di comprendere il legame tra la forma di un guscio e la distribuzione di sforzi al suo interno. In questo articolo vengono descritte alcune soluzioni analitiche per l’equazione di Pucher, ricavate grazie all’utilizzo di assunzioni semplificative.

Lo scopo dell’articolo non è certamente quello di riportare la soluzione esatta per specifici problemi strutturali, ma è quello di trarre da queste soluzioni alcune informazioni di carattere generale sul legame tra la forma e gli sforzi nei gusci.

Il theorema egregium di Gauss

La parola guscio viene comunemente utilizzata in ambito strutturale per indicare, a volte impropriamente, qualsiasi struttura sottile, con due dimensioni molto maggiori della terza, lo spessore. Per questo motivo la loro forma viene descritta mediante la superficie media del guscio. Ad essa viene, poi, associato uno spessore, che può eventualmente variare con continuità lungo la superficie. Poiché la forma di queste strutture è strettamente legata alla distribuzione di sforzi al loro interno, è opportuno fare una distinzione. Una struttura sottile, con due dimensioni prevalenti sulla terza, può essere considerata propriamente un guscio quando la sua superficie media è curva. Questo perché la curvatura, insieme all’esiguità dello spessore, consente al guscio di equilibrare i carichi esterni mediante un regime di sforzi prevalentemente membranale, cioè sforzi uniformemente distribuiti lungo lo spessore della struttura e paralleli alla superficie media del guscio (Figura 2). 

Le piastre, di contro, sono quegli elementi strutturali con due dimensioni prevalenti sulla terza, ma la cui superficie media è piana. Se caricate trasversalmente esse equilibrano le azioni esterne unicamente mediante momento flettente e taglio.

Un caso intermedio è costituito dalle strutture la cui superficie media è curva in una sola direzione. In tal caso si ottiene un guscio cilindrico (o volta a botte). Questo può lavorare in regime esclusivamente membranale solo per particolari condizioni di carico. 

Ciò avviene, ad esempio, quando la linea delle pressioni del carico applicato coincide con la linea media della sezione della volta, che risulta essere, quindi, funicolare del carico applicato. Per condizioni di carico diverse da queste, invece, la struttura potrebbe essere soggetta a flessione e i momenti flettenti che producono concentrazioni di sforzo all’intradosso o all’estradosso della struttura. Queste sollecitazioni possono richiedere un aumento dello spessore strutturale o l’inserimento di costolature. 

I gusci caratterizzati da una superficie media a doppia curvatura, invece, possono (e dovrebbero) essere costruiti col minore spessore possibile, compatibilmente con la tecnologia costruttiva, in modo da favorire un regime di sforzo membranale. 

Poiché la curvatura della superficie media ha un ruolo importante sulla distribuzione degli sforzi all’interno del guscio, è utile definire alcune grandezze geometriche che definiscono questa proprietà delle superfici. La curvatura può variare da punto a punto di una superficie e può cambiare valore a seconda della direzione lungo cui essa viene calcolata. Per questo è utile definire come varia la curvatura in un punto della superficie a seconda della direzione lungo cui essa viene sezionata con un piano normale alla superficie stessa. I valori massimo e minimo delle curvature calcolate al variare della direzione del piano di sezione sono chiamati curvature principali della superficie e sono indicati con κ₁ e κ₂. In genere questi valori, e la direzione lungo cui essi sono calcolati, variano da punto a punto lungo la superficie. Le superfici (o i punti di una superficie) possono essere classificate mediante un parametro geometrico denominato curvatura Gaussiana K, calcolata come il prodotto tra le curvature principali, cioè K=κ₁κ₂ (Figura 3).

Le superfici a semplice curvatura, dette anche superfici sviluppabili, hanno una delle due curvature principali pari a zero, quindi sono caratterizzate da una curvatura Gaussiana nulla (K = 0). Ad esempio il cilindro e il cono sono superfici sviluppabili perché in tutti i punti di tali superfici (ad eccezione del vertice del cono) una delle due curvature principali è nulla. Le superfici a doppia curvatura, invece, possono essere suddivise, a loro volta, in due famiglie denominate superfici sinclastiche e superfici anticlastiche. Le prime hanno curvature principali dello stesso segno e quindi sono caratterizzate da curvatura Gaussiana positiva (K>0). Esempi di superfici sinclastiche sono la sfera e l’ellissoide. Le superfici anticlastiche hanno curvature principali di segno opposto e quindi curvatura Gaussiana negativa (K<0). Ad esempio il paraboloide iperbolico e l’iperboloide ad una falda sono superfici anticlastiche poiché nei loro punti assumono una caratteristica forma a sella. 

Il legame tra il comportamento strutturale dei gusci e la curvatura Gaussiana della loro superficie media è una conseguenza pratica del theorema egregium di Gauss: la curvatura Gaussiana di una superficie non cambia se la superficie viene piegata per flessione, senza elongazioni. 

Inconsciamente tutti noi, strutturisti e non, osserviamo gli effetti di questo teorema ogni volta che proviamo a sostenere un foglio di carta (o una fetta di pizza) tenendolo da un solo estremo. Il foglio di carta è molto flessibile e è inizialmente piano. Per questo può equilibrare i carichi esterni in regime prevalentemente membranale solo in particolari condizioni. In tutti gli altri casi insorge flessione che produce maggiori deformazioni. Nel nostro caso, infatti, se il foglio è sostenuto da un solo estremo, si piega sotto l’effetto del peso proprio a causa della sua grande flessibilità (Figura 4a). 

Di contro, è sufficiente conferire una curvatura κ₁ ≠ 0 per evitare che questo si infletta nell’altra direzione (Figura 4b). La superficie, inizialmente piana (K=0), conserva la propria curvatura Gaussiana anche dopo averla inflessa, cioè dopo aver applicato la curvatura κ₁, mediante l’azione della nostra mano. Poiché K=κ₁ κ₂ (con κ₁≠0) deve conservarsi nulla, la seconda curvatura principale κ₂ deve necessariamente rimanere nulla. Ciò impedisce al foglio di inflettersi lungo l’altra direzione sotto l’azione del proprio peso. 

Lo stesso fenomeno è ciò che rende strutturalmente efficiente la copertura del l'ippodromo della Zarzuela progettato da Edoardo Torroja (Figura 4c).

La formula di Pucher

Benché fornisca una spiegazione al fatto che la curvatura conferisce alle strutture a guscio la proprietà di equilibrare i carichi applicati con forze di membrana, il theorema egregium di Gauss non consente di calcolare le sollecitazioni nei gusci in maniera diretta. Assumendo ipotesi semplificative Pucher ricavò un’equazione differenziale che invece descrive il legame tra le componenti di curvatura della superficie media del guscio, il carico distribuito applicato al guscio e le componenti di sforzo al suo interno. Questa relazione è approssimata e si basa sull’assunto che il guscio possa equilibrare i carichi agenti unicamente mediante sforzi membranali. 

Prima di riportare l’equazione di Pucher è opportuno definire alcune grandezze che compaiono in questa equazione. Innanzitutto, l’equazione di Pucher è una equazione differenziale ed in essa compaiono le derivate di due funzioni, una di queste descrive la forma della superficie media del guscio, l’altra è utilizzata per calcolare le forze di membrana nel guscio. Nell’equazione compare una terza funzione che esprime, invece, il carico distribuito sulla superficie media del guscio. Inoltre va specificato che le quantità che compaiono in questa equazione non sono le effettive quantità di interesse, ma la loro proiezioni su piani verticali o orizzontali. Quindi, prima di applicare l’equazione e dopo averla risolta, è necessario applicare opportune trasformazioni per ottenere le quantità richieste.

Questa operazione è certamente necessaria nel caso si voglia risolvere analiticamente il problema statico di un guscio, così come fece Felix Candela per calcolare gli sforzi nel paraboloide iperbolico, ma non è necessaria nel caso in cui si volesse utilizzare l’equazione solo per trarre informazioni sintetiche sul modo in cui la curvatura del guscio è legata alla distribuzione di sforzi al suo interno. Quindi, nel nostro caso, non ci preoccuperemo di applicare queste formule di trasformazione a vantaggio della semplicità di esposizione.

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