Le linee di influenza per la risoluzione di schemi statici con sovraccarico mobile

Molto spesso capita di lavorare con strutture che prevedono, in fase di calcolo, sovraccarichi mobili. Gli schemi statici di queste strutture non sono sempre di immediata risoluzione sia per quanto riguarda le caratteristiche di sollecitazione sia per quelle di deformazione.
Ciò che di solito ha maggior interesse per il progettista è determinare la posizione del sovraccarico all’interno dello schema statico per il quale si hanno le massime caratteristiche di sollecitazione e di deformazione.
Questo può succedere, ad esempio, quando si progettano i ponti.
Il metodo delle linee di influenza, da sempre utilizzato, può essere di molto aiuto per il progettista. Esso permettono, infatti, di determinare gli effetti prodotti dai carichi mobili in una sezione dello schema statico e di determinare, inoltre, quelle che sono le posizioni dei carichi mobili che rendono massime oppure minime le caratteristiche di sollecitazione che interessano al progettista.
Dal punto di vista matematico possiamo definire la linea di influenza come una funzione matematica, detta funzione di influenza, che varia in relazione a tre grandezze: l’entità del carico e la sua posizione e la posizione della sezione che si vuole analizzare.
Una linea di influenza può essere così definita:

dove:

• x è la posizione del carico;
• x_s è la posizione della sezione da analizzare;
• P è il carico applicato al sistema.

Senza entrare troppo nei tecnicismi della funzione basta sapere che esiste un particolare caso per il quale la grandezza (G) considerata diviene la funzione di Green del problema. Quest’ultima è legata al concetto di impulso e di conseguenza al concetto di delta di Dirac. Tale funzione, infatti, risulta notevolmente utile nella risoluzione di problemi di natura perturbativa come quello delle linee di influenza.
Per capire meglio il concetto possiamo analizzare il caso del carico viaggiante concentrato e isolato su una trave con tre appoggi.

In questo caso la grandezza (G) è definibile come:

ed è proporzionale all’intensità del carico. La posizione per cui si ha il massimo valore della grandezza (G) è unica ed è quella che corrisponde all’ordinata massima della linea di influenza.
Facendo riferimento al caso semplice sopra citato si può affermare che tramite le linee di influenza diventa immediato capire in che punti dello schema statico applicare i carichi per ottenere le massime caratteristiche di sollecitazione e di deformazione.

Fonti:

• M. P. Petrangeli, Progettazione e Costruzioni di Ponti;
• Appunti del Corso di Costruzione di Ponti del prof. Ing. M. Fasan.

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