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Valutazione numerica della duttilità: un esempio applicativo

Focus su un esempio numerico della verifica di duttilità delle sezioni in cemento armato secondo le NTC 2018

di Redazione
duttilità

Il progetto di una struttura antisismica deve garantire un’adeguata capacità di dissipare energia senza una sostanziale riduzione di resistenza complessiva alle azioni orizzontali e verticali. Le normative sismiche moderne consentono di ridurre le azioni di progetto in funzione delle caratteristiche di duttilità complessive della struttura. Una tale assunzione richiede, ovviamente, una metodologia di progettazione ad essa coerente, tesa ad assicurare che la struttura sia realmente in grado di fornire il livello di duttilità globale prescelto, descritto comunemente attraverso il cosiddetto “fattore di comportamento”.

Il livello di duttilità richiesto ai singoli elementi strutturali dipende dai meccanismi di collasso che possono crearsi nella struttura; per questa ragione i metodi di progettazione tendono ad evitare il formarsi di meccanismi accompagnati da rotture fragili. In particolare, è preferibile che la rottura sia di tipo flessionale e non a taglio. I pilastri, a causa del livello elevato del carico assiale, sono capaci di fornire una duttilità di curvatura ridotta rispetto a quella delle travi. La curvatura ultima dei pilastri e la capacità di dissipare energia durante i cicli di carico e scarico tipici dell’azione sismica sono sensibilmente influenzate dalla presenza dell’armatura trasversale. Infatti, al crescere del carico assiale la rottura dipende sempre più dalle caratteristiche del calcestruzzo, il cui comportamento, in termini di resistenza e di duttilità è legato al livello di confinamento fornito dall’armatura trasversale.

Per la valutazione della capacità delle sezioni in cemento armato, le principali normative consentono l’uso di legami costituivi per il calcestruzzo ritenuti maggiormente rappresentativi del reale comportamento rispetto ai diagrammi tensione-deformazione del tipo parabola-rettangolo o rettangolare equivalente. Sia la resistenza sia la duttilità della sezione sono influenzate dal legame ϭ-ε del calcestruzzo e pertanto, come è noto, anche dal livello di confinamento.

Si vuole determinare come varia la curvatura e quindi la duttilità della sezione al variare delle armature tese e compresse, sia per elementi inflessi quali travi e sia per elementi presso inflessi quali i pilastri, rispettando i limiti di normativa dei dettagli costruttivi quali geometrie e limiti massimi e minimi per le armature longitudinali e trasversali. Si è preso in considerazione come previsto dalle NTC 2018 anche il legame costitutivo del calcestruzzo confinato, considerando i vari aspetti vantaggiosi e svantaggiosi di esso.

Materiali

Si considerino i seguenti materiali:

Calcestruzzo C25/30

  • Resistenza a compressione

    \[ f_{ck}=25MPa \]

    \[ f_{cd}=14,16MPa \]

    \[ f_{cm}=33MPa \]

  • Resistenza a trazione

    \[ f_{ctm}=2,56MPa \]

  • Modulo di rigidezza

    \[ E_{cm}=31475,8MPa \]

  • Deformazione elastica e di rottura: (Stress block)

ɛc4 =0,7‰           ɛcu =3,5‰

 

Acciaio

Per l’acciaio per cemento armato si utilizzano barre ad aderenza migliorata di classe B450C. si riportano di seguito le proprietà meccaniche di tale tipologia di acciaio.

  • Tensione di snervamento

    \[ f_{y}=450MPa \]

    \[ f_{yd}=391,3MPa \]

  • Tensione di rottura

    \[ f_{y}=540MPa \]

  • Modulo di rigidezza

    \[ E_{s}=210MPa \]

  • Deformazione di snervamento e rottura: (elasto-perfettamente plastico)

ɛyd =1,86‰           ɛcu =7%

 

Ipotesi di base senza escludere specifici approfondimenti, necessari in particolare nel caso di elementi costituiti da calcestruzzo di classe di resistenza superiore a C45/55, per la valutazione della resistenza ultima delle sezioni di elementi monodimensionali nei confronti di sforzo normale e flessione, si adottano le seguenti ipotesi:

conservazione delle sezioni piane;

perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo;

resistenza a trazione del calcestruzzo nulla;

rottura del calcestruzzo determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativa ultima a compressione; ipotizzando che il modello σ-ε per il calcestruzzo sia quello rettangolo (stress block), dove le massime deformazioni del conglomerato si assumono pari a εcu=0,35% nei casi di flessione e εc4=0,07%; (NTC 2018 4.1.2.1.2.1)

rottura dell’armatura tesa determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativa ultima; la deformazione massima (in valore assoluto), nell’armatura tesa in acciaio a durezza naturale impiegato nel c.a. ordinario si assume pari a: εud=0,075 (7,5%). Consideriamo un legame elastico perfettamente plastico (NTC 2018 4.1.2.1.2.2)

deformazione iniziale dell’armatura di precompressione considerata nelle relazioni di congruenza della sezione.

Le tensioni nel calcestruzzo e nell’armatura si dedurranno, a partire dalle deformazioni, utilizzando i rispettivi diagrammi tensione-deformazione rispettando al variare di esse, i limiti di normativa nei riguardi delle armature tese e compresse, ed nei riguardi dello sforzo normale:

    \[ \frac{1,4}{f_{yk}}<\rho<\rho_{comp}+\frac{3,5}{f_{yk}} \]

Per le strutture in CD “A” e in CD “B” la domanda a compressione non deve eccedere, rispettivamente, il 55% e il 65% della capacità massima a compressione della sezione di solo calcestruzzo, per tutte le combinazioni considerate.

Questo equivale a dire che lo sforzo normale adimensionale deve

    \[ \nu=\frac{N_{sd}}{b\cdot h\cdot fcd} \]

essere <0.55 CD”A” o <0.65 CD”B”.

Consideriamo la seguente sezione in cemento armato, trascurando l’effetto del confinamento:

Fig. 1: Sezione in c.a. a doppia armatura presso-inflessa

Incremento armatura tesa

Si considerino tre casi differenti all’aumentare dell’armatura tesa As, mantenendo quella compressa As’ costante, rispettando i limiti di normativa fra le due si ottiene:

Casi As [mm2] As’ [mm2] Mrd [kNm] εyd [%] x [cm] x/d μ [1/cm] x 0,0001
1 3Ф16=603 3Ф16=603 102,4 3,03 4,81 0,104 12,43
2 4Ф16=804 3Ф16=603 135,3 2,52 5,62 0,122 10,04
3 3Ф20=942 3Ф16=603 157,2 2,22 6,27 0,136 8,67

Da cui si ottengono i diagrammi Momento-Curvatura:

Si noti come all’aumentare dell’armatura tesa aumenti il momento resistente della sezione Mrd dovuto all’aumento di w, ma si riduce allo stesso tempo la duttilità della sezione, andando incontro ad una rottura di tipo fragile, nel momento in cui si esce dalla fase elastica.

Incremento armatura compressa

Si considerino tre casi differenti all’aumentare dell’armatura compressa As, mantenendo quella tesa As costante, rispettando i limiti di normativa fra le due si ottiene:

Casi As [mm2] As’ [mm2] Mrd [kNm] εyd [%] x [cm] x/d μ [1/cm] x 0,0001
1 3Ф16=603 3Ф16=603 102,4 3 4,81 0,104 12,43
2 3Ф16=603 4Ф16=804 102,6 3,13 4,63 0,1 13,08
3 3Ф16=603 3Ф20=942 102,8 3,19 4,54 0,098 13,44

Da cui si ottengono i seguenti diagrammi Momento-Curvatura:

Si noti come all’aumentare dell’armatura compressa, aumenti minimamente la resistenza della sezione Mrd, ma aumenta in modo ben visibile la duttilità della sezione, dovuto ad un aumento di w’.

Incremento sforzo normale

Si considerino tre casi differenti all’aumentare dello sforzo normale Nsd agente sulla sezione, mantendo costante l’armatura tesa As e quella compressa As’, rispettando i limiti di norma per lo sforzo normale agente:

Casi As [mm2] As’ [mm2] N [kN] v [-] Mrd [kNm] εyd [%] x [cm] x/d μ [1/cm] x 0,0001
0 3Ф16=603 3Ф16=603 0 0,000 102,40 3,00 4,801 0,104 12,43
1 3Ф16=603 3Ф16=603 200 0,094 143,60 1,88 7,21 0,160 7,22
2 3Ф16=603 3Ф16=603 500 0,240 193,90 0,76 14,53 0,316 3,00
3 3Ф16=603 3Ф16=603 800 0,380 221,70 0,34 23,25 0,500 1,56

Si ottengono i seguenti diagrammi Momento-Curvatura:

Si noti come lo sforzo normale che agisce sulla mia sezione, mi comporti una diminuzione di duttilità molto consistente, con una rottura sempre più fragile del materiale, dovuta ad un aumento di v.

Applicazione del confinamento (NTC 2018)

Si considerano gli stessi casi analizzati precedentemente tenendo conto del legame costitutivo del confinamento del calcestruzzo, dovuto alla presenza di armatura trasversale. Si vuole mettere in evidenza gli aspetti positivi del confinamento in termini di duttilità, alla luce di quanto visto precedentemente.

Si consideri la stessa identica sezione 30×50 costituita da armatura trasversale caratterizzata da staffe φ8 con una coppia di legature ortogonali dello stesso diametro e passo s=10cm.

Fig. 2: Sezione di fig. 3.1 con staffe e legature

La sezione è caratterizzata dalle seguenti proprietà:

  • εccu= 5,7 ‰ (incremento del 70% rispetto a εcu)
  • εc2,c= 2,2 ‰
  • fck,c= 26,35 MPa
  • fcd,c= 14.93 MPa

Le seguenti caratteristiche sono state calcolate seguendo la norma NTC 2018, in particolare al paragrafo 4.1.2.1.2. Per tener conto che il calcestruzzo all’interno del nucleo confinato può pervenire a deformazioni maggiori di 3,5 ‰, si deve considerare che invece il copriferro (c) non confinato collassa e si distacca dalla sezione. Pertanto le caratteristiche di resistenza e duttilità sono costituite dal solo calcestruzzo confinato.

Incremento armatura tesa

Casi As [mm2] As’ [mm2] εccu [%] εc2,c [%] fcd [Mpa] Nsd [kN] Mrd [kNm] εyd [%] x [cm] x/d μ [1/cm] x 0,0001
1 3Ф16=603 3Ф16=603 0,57 0,22 14,93 0 102,6 0,54 4,41 0,096 21,96
2 4Ф16=804 3Ф16=603 0,68 0,23 15,33 0 135,6 0,57 4,9 0,11 18,73
3 3Ф20=942 3Ф16=603 0,68 0,23 15,33 0 158,3 0,44 5,2 0,11 16,8

Si ottengono i seguenti diagrammi Momento-Curvatura, messi a confronto con il legame del calcestruzzo senza tener conto del confinamento:

Incremento armatura compressa

Casi As [mm2] As’ [mm2] εccu [%] εc2,c [%] fcd [Mpa] Nsd [kN] Mrd [kNm] εyd [%] x [cm] x/d μ [1/cm] x 0,0001
1 3Ф16=603 3Ф16=603 0,68 0,23 15,33 0 102,6 0,53 4,4 0,095 21,96
2 3Ф16=603 4Ф16=804 0,68 0,23 15,33 0 102,8 0,55 4,3 0,093 22,77
3 3Ф16=603 3Ф20=942 0,68 0,23 15,33 0 103 0,56 4,2 0,091 23,21

Si ottengono i seguenti diagrammi Momento-Curvatura, messi a confronto con il legame del calcestruzzo senza tener conto del confinamento:

Incremento sforzo normale

Casi As [mm2] As’ [mm2] εccu [%] εc2,c [%] fcd [Mpa] Nsd [kN] v (-) Mrd [kNm] εyd [%] x [cm] x/d μ [1/cm] x 0,0001
0 3Ф16=603 3Ф16=603 0,68 0,23 15,33 0 0 102,6 0,53 4,4 0,095 21,96
1 3Ф16=603 3Ф16=603 0,68 0,23 15,33 200 0,09 144,4 0,39 5,7 0,125 14,63
2 3Ф16=603 3Ф16=603 0,68 0,23 15,33 500 0,22 195,9 0,15 12,81 0,27 5,54
3 3Ф16=603 3Ф16=603 0,68 0,23 15,33 800 0,357 226,9 0,7 20,5 0,44 2,9

Si ottengono i seguenti diagrammi Momento-Curvatura, messi a confronto con il legame del calcestruzzo senza tener conto del confinamento:

Emerge con chiarezza che per effetto del confinamento non si perviene a una sostanziale variazione di capacità resistente nella sezione (Mrd), mentre si incrementa notevolmente la duttilità della sezione stessa (μ), con una diminuzione dell’asse neutro rispetto a quando non si tiene conto del confinamento, ed un aumento di curvatura dovuto proprio all’incremento della εcu da parte del calcestruzzo.

Confronto duttilità della sezione

Si confrontino i valori di duttilità ottenuti nella valutazione numerica precedentemente effettuata, mettendo a confronto per i vari casi realizzati di quanto si incrementi la duttilità della sezione, considerando il legame costitutivo del calcestruzzo confinato secondo NTC 2018 rispetto al caso in cui esso è stato trascurato.

 

AUMENTO ARMATURA TESA NON CONFINAMENTO CONFINAMENTO AUMENTO DUTTILITA’
Casi As [mm^2] As’ [mm^2] μ [1/cm] x0,001 μ [1/cm] x0,001 [%]
1 3φ16=603 3φ16=603 12,43 21,96 77
2 3φ16= 603 4φ16= 804 10,04 18,73 87
3 3φ16= 603 3φ20= 942 8,67 16,8 94
AUMENTO ARMATURA COMPRESSA NON CONFINAMENTO CONFINAMENTO AUMENTO DUTTILITA’
Casi As [mm^2] As’ [mm^2] μ [1/cm] x0,001 μ [1/cm] x0,001 [%]
1 3φ16=603 3φ16=603 12,43 21,96 77
2 3φ16= 603 4φ16= 804 13,08 22,77 74
3 3φ16= 603 3φ20= 942 13,44 23,21 73
AUMENTO SFORZO NORMALE NON CONFINAMENTO CONFINAMENTO AUMENTO DUTTILITA’
Casi As [mm^2] As’ [mm^2] μ [1/cm] x0,001 μ [1/cm] x0,001 [%]
0)        Con N=0 KN 3φ16=603 3φ16=603 12,43 21,96 77
1)      Con N=200 KN 3φ16=603 3φ16=603 7,22 14,63 103
2)      Con N=500 KN 3φ16= 603 3φ16=603 3 5,54 85
3)      Con N=800 KN 3φ16= 603 3φ16=603 1,56 2,9 86

Si noti come la duttilità della sezione, tenendo conto del legame costitutivo del calcestruzzo confinato, caratterizzato da una deformazione εcue una resistenza a compressione di progetto fcd maggiori, comporti un aumento di duttilità della sezione in tutti i casi almeno maggiore del 70%.

Questo aspetto risulta essere molto positivo, soprattutto per le costruzioni in zona sismica, nel quale si richiede alla struttura un comportamento quanto più duttile possibile, andando a sfruttare le proprie capacità in campo plastico nelle zone dissipative, evitando il crollo prematuro della struttura stessa.

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